Soutenir le regard de quelqu'un"

Regarder quelqu'un dans les yeux, ne pas baisser les yeux.

Cette expression tire sa signification du verbe "soutenir" pris dans le sens de "maintenir". Ainsi, il est question ici de "maintenir le regard de quelqu'un", c'est-à-dire de le fixer sans jamais baisser les yeux dans l'idée de montrer de la force.